Question

14．如圖甲所示，在xoy豎直平面內(nèi)存在著與y軸平行的均強(qiáng)電場(chǎng)（電場(chǎng)區(qū)域很大，圖中未畫出），現(xiàn)垂直于xoy平面加一足夠?qū)挼拇艌?chǎng)區(qū)域，規(guī)定磁場(chǎng)方向向外為正，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化如圖乙所示，圖中B₀為已知量，t₀，t₁為未知量，電荷量為q的帶正電小球，從t=0時(shí)刻開始，以初速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)處沿直線OP方向運(yùn)動(dòng)，已知小球在以后的運(yùn)動(dòng)中能垂直O(jiān)P連線方向通過OP上坐標(biāo)為（4L，3L）的D點(diǎn)，取10m/s²．求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向
（2）滿足條件的t₁表達(dá)式
（3）進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，小球通過D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)具有周期性，則此運(yùn)動(dòng)的周期是多少？

Answer 1

分析 （1）在0-t₁內(nèi)沒有磁場(chǎng)，小球在重力和電場(chǎng)力作用下應(yīng)沿v₀方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件求解．
（2）在t₁以后的t₀時(shí)間內(nèi)，小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可求得軌跡半徑．根據(jù)題意要使小球的運(yùn)動(dòng)方向改變270°，只能讓小球勻速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)以后的某個(gè)位置，再在磁場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)$\frac{3}{4}$個(gè)周期，然后沿直線垂直通過D點(diǎn)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．
（3）根據(jù)軌跡，得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期的關(guān)系，即可求得此運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：（1）0-t₁內(nèi)沒有磁場(chǎng)，小球在重力和電場(chǎng)力作用下沿v₀方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件有：
  qE=mg，解得 E=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上．
（2）在t₁以后的t₀時(shí)間內(nèi)，小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其半徑為R，由牛頓第二定律得：
  qB₀v₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，得 R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
根據(jù)題意要使小球的運(yùn)動(dòng)方向改變270°（然后沿直線運(yùn)動(dòng)），只能讓小球勻速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)以后的某個(gè)位置，再在磁場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)$\frac{3}{4}$個(gè)周期（也可再持續(xù)nT₀），然后沿直線垂直通過D點(diǎn)，如圖，CD距離應(yīng)等于
圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R，在t₁時(shí)間內(nèi)小球由O點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，對(duì)應(yīng)位移 s=$\sqrt{（4L）^{2}+（3L）^{2}}$+R=5L+R
故 t₁=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{5L+R}{{v}_{0}}$
代入得 t₁=$\frac{5L}{{v}_{0}}$+$\frac{m}{q{B}_{0}}$
（3）由圖可知小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：
  T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
由題意知：t₀=（n+$\frac{3}{4}$）T₀，n取0，1，2，…
小球做整個(gè)大回旋的周期 T=8t₀；
代入得 T=$\frac{（12+16n）πm}{q{B}_{0}}$，n取0，1，2，…
答：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小是$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上．
（2）滿足條件的t₁表達(dá)式是t₁=$\frac{5L}{{v}_{0}}$+$\frac{m}{q{B}_{0}}$．
（3）進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，小球通過D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)具有周期性，則此運(yùn)動(dòng)的周期是$\frac{（12+16n）πm}{q{B}_{0}}$，n取0，1，2，…．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問題．