Question

19．如圖所示，在xOy坐標系的第一象限內(nèi)有勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，磁場區(qū)域上邊界剛好與直線y=2a重合，磁感應強度為B．一個帶負電的粒子在坐標為（x，0）的A點以某一速度進入磁場區(qū)域，進入磁場時的速度方向與x軸負方向的夾角為30°，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，不計粒子的重力．
（1）若粒子離開磁場時的位置在C點，其坐標為（x，2a），粒子運動的速度大小v與x的對應條件．
（2）粒子進入磁場的速度滿足什么條件時可使離子在磁場區(qū)域運動的時間最長？并求出最長時間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子進入磁場時由洛倫茲力充當向心力做勻速圓周運動，依題意畫出軌跡，根據(jù)幾何關系得到軌跡半徑，得到x與a的關系，再由牛頓第二定律求解．
（2）要使離子在磁場區(qū)域運動的時間最長，軌跡對應的圓心角應最大，軌跡最長，畫出軌跡，求出軌跡對應的圓心角，即可解得．

解答 解：（1）依題意作過A、C兩點的圓，此圓對應的圓心為O₁，如圖虛線所示．設該圓的半徑為r，則由幾何關系可得：
∠AO₁C=120°，作垂直AC的半徑O₁N與AC交于M，則有
  MN=MO₁=$\frac{r}{2}$
其中 r=$\frac{a}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
故要使帶電粒子能到達C點，x應滿足條件 x≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
由牛頓第二定律有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得 r=$\frac{mv}{qB}$
解得 v=$\frac{2\sqrt{3}qBa}{3m}$
（2）當帶電粒子從x軸射出時運動時間最長，如圖所示為粒子在磁場區(qū)域運動的最長時間的運動軌跡，圓心為O₂，PO₂Q與x軸垂直，設該圓的半徑為r′，由幾何關系有：

  r′+r′cos30°=2a
解得 r′=4（2-$\sqrt{3}$）a
又因為 qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
得 v′=$\frac{qBr′}{m}$=$\frac{4（2-\sqrt{3}）qBa}{m}$
粒子在磁場區(qū)域運動的最長時間 t=$\frac{5}{6}T$=$\frac{5}{6}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{3qB}$
答：
（1）若粒子離開磁場時的位置在C點，其坐標為（x，2a），粒子運動的速度大小v對應條件是v=$\frac{2\sqrt{3}qBa}{3m}$，x的對應條件是x≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
（2）粒子進入磁場的速度滿足條件：v′=$\frac{4（2-\sqrt{3}）qBa}{m}$時可使離子在磁場區(qū)域運動的時間最長，最長時間是$\frac{5πm}{3qB}$．

點評 本題是粒子在磁場中做勻速圓周運動類型，掌握洛倫茲力與向心力的表達式，理解牛頓第二定律與幾何關系的應用，注意畫出正確的運動軌跡圖，是解題的關鍵．