Question

在直角坐標系xoy中，直線I的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

  （t為參數(shù)），若以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=

2

cos（θ+

π

4

）．
（1）求直線I被曲線C所截得的弦長；
（2）若M（x，y）是曲線C上的動點，求x+y的最大值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）將曲線C化為普通方程，將直線的參數(shù)方程化為標準形式，利用弦心距半徑半弦長滿足的勾股定理，即可求弦長．
（2）運用圓的參數(shù)方程，設出M，再由兩角和的正弦公式化簡，運用正弦函數(shù)的值域即可得到最大值．

解答： 解：（1）直線I的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

  （t為參數(shù)），消去t，
可得，3x+4y+1=0；
由于ρ=

2

cos（θ+

π

4

）=

2

（

2

2

cosθ-

2

2

sinθ），
即有ρ²=ρcosθ-ρsinθ，則有x²+y²-x+y=0，其圓心為（

1

2

，-

1

2

），半徑為r=

2

2

，
圓心到直線的距離d=

| 3 2 -2+1|

9+16

=

1

10

，
故弦長為2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

；
（2）可設圓的參數(shù)方程為：

x= 1 2 + 2 2 cosθ y=- 1 2 + 2 2 sinθ

（θ為參數(shù)），
則設M（

1

2

+

2

2

cosθ，-

1

2

+

2

2

sinθ），
則x+y=

2

2

cosθ+

2

2

sinθ=sin（θ+

π

4

），
由于θ∈R，則x+y的最大值為1．

點評：本題考查參數(shù)方程化為標準方程，極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數(shù)的幾何意義及運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．