Question

定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=-x²+2x．函數y=g（x）的定義域為[a，b]，值域為[

1

b

，

1

a

]，其中a、b≠0．在x∈[a，b]時f（x）=g（x）．
（1）求f（x）解析式；
（2）求a、b的值；
（3）是否存在實數m，使{（x，y）|y=g（x），x∈[a，b]}∩{（x，y）|y=

1

4

x²+m}≠∅？若存在，求出m的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設x＜0，則-x＞0．利用當x＞0時，f（x）=-x²+2x和奇函數的性質即可得出．
（2）函數y=g（x）的定義域為[a，b]，值域為[

1

b

，

1

a

]，這表明

a＜b 1 b ＜ 1 a

，可見a，b同號．
當a，b＞0時，考慮以下三種情況：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．利用二次函數的單調性即可得到．
（3）考察函數g（x）=

-x2+2x，(1≤x≤ 1+ 5 2 ) x2+2x，( -1- 5 2 ≤x≤-1)

，由題意可得方程組

y=g(x) y= 1 4 x2+m

有解，解出即可．

解答： 解：（1）設x＜0，則-x＞0．
∵當x＞0時，f（x）=-x²+2x，
∴f（-x）=-x²-2x．
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=x²+2x．
又f（0）=0．
∴f（x）=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（2）函數y=g（x）的定義域為[a，b]，值域為[

1

b

，

1

a

]，這表明

a＜b 1 b ＜ 1 a

，可見a，b同號．
當a，b＞0時，考慮以下三種情況：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．
當0＜a＜b≤1，則

1

a

＞1，當x∈（0，1]時，f（x）≤1，這與g（x）的值域為[

1

b

，

1

a

]相矛盾；
當1≤a＜b＜2，g（x）是減函數，可見

1 b =g(b)=-b2+2b 1 a =g(a)=-a2+2a

，解得

a=1 b= 1+ 5 2

．
當a，b＜0時，在-2＜b＜a≤-1條件下可得：

b=- 1+ 5 2 a=-1

．
（3）考察函數g（x）=

-x2+2x，(1≤x≤ 1+ 5 2 ) x2+2x，( -1- 5 2 ≤x≤-1)

，
由題意方程組

y=g(x) y= 1 4 x2+m

有解，
∴2x-

5

4

x2=m在[1，

1+ 5

2

]內有實數根；或2x+

3

4

x2=m在[

-1- 5

2

，-1]內有實數根．
解得m∈[

-7+3 5

8

，

3

4

]∪[-

4

3

，-

5

4

]．

點評：本題考查了分段函數、二次函數的性質，考查了函數的奇偶性、單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．