Question

已知實數(shù)x，y，z滿足

x2+y2

+z=1，則xy+2xz的最大值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,不等式的解法及應用

分析：令x=rcosθ，y=rsinθ，r∈（0，1），θ∈(0，

π

2

)，可得z=1-r．通過三角函數(shù)代換、利用二次函數(shù)和三角函數(shù)單調(diào)性即可得出．

解答： 解：令x=rcosθ，y=rsinθ，r∈（0，1），θ∈(0，

π

2

)．
∵實數(shù)x，y，z滿足

x2+y2

+z=1，
∴r+z=1，可得z=1-r．
∴t=xy+2xz=r²sinθcosθ+2r（1-r）cosθ
=（sinθcosθ-2cosθ）r²+2rcosθ=cosθ[（sinθ-2）r²+2r]≤

cosθ

2-sinθ

，
當r=

1

2-sinθ

時等號成立．
又令m=

cosθ

2-sinθ

，則msinθ+cosθ=2m，
∴

m2+1

≥|2m|，∴m2≤

1

3

．
當θ=

π

6

時，m取得最大值

3

3

．此時

x= 3 3 y= 1 3 z= 1 3

．

點評：本題考查了通過三角函數(shù)代換、利用二次函數(shù)和三角函數(shù)單調(diào)性解決問題的方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．