Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

2

，且過點（1，

3

2

）．拋物線C₂：x²=-2py（p＞0）的焦點坐標為（0，-

1

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）若點M是直線l：2x-4y+3=0上的動點，過點M作拋物線C₂的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB交橢圓C₁于P，Q兩點．
（i）求證直線AB過定點，并求出該定點坐標；
（ii）當△OPQ的面積取最大值時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件，設橢圓方程為

x2

4

+y2=λ＞0，把點(1，

3

2

)代入能求出橢圓C₁的方程．拋物線C₂中，由

p

2

=

1

2

，能求出拋物線C₂的方程．
（II）（i）設點M（x₀，y₀），且滿足2x₀-4y₀+3=0，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于切線MA，MB同過點M，有

x2x0+y0+y2=0 x2x0+y0+y2=0

，由此能證明直線AB過定點(-

1

2

，-

3

4

)．
（ii）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 x0x+y+y0=0

，得(1+4

x

2 0

)x2+8x0y0x+4

y

2 0

-4=0，由此利用根的判別式和韋達定理能求出直線方程．

解答： 解：（I）由于橢圓C₁中，e=

3

2

，
則設其方程為

x2

4

+y2=λ＞0，
由于點(1，

3

2

)在橢圓上，故代入得λ=1．
故橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1．
拋物線C₂中，
∵拋物線C₂：x²=-2py（p＞0）的焦點坐標為（0，-

1

2

），
∴

p

2

=

1

2

，故p=1，
從而橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1，拋物線C₂的方程為x²=-2y．
（II）（i）證明：設點M（x₀，y₀），且滿足2x₀-4y₀+3=0，
點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則切線MA的斜率為-x₁，
從而MA的方程為y=-x₁（x-x₁）+y₁，
考慮到y1=-

x 2 1

2

，則切線MA的方程為x₁x+y+y₁=0，
同理切線MB的方程為x₂x+y+y₂=0，
由于切線MA，MB同過點M，
從而有

x2x0+y0+y2=0 x2x0+y0+y2=0

，
由此點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線x₀x+y+y₀=0上．
又點M在直線2x-4y+3=0上，則2x₀-4y₀+3=0，
故直線AB的方程為（4y₀-3）x+2y+2y₀=0，
即y₀（4x+2）+（2y-3x）=0，
∴直線AB過定點(-

1

2

，-

3

4

)．
（ii）解：設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
考慮到直線AB的方程為x₀x+y+y₀=0，
則聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 x0x+y+y0=0

，
消去y并簡化得(1+4

x

2 0

)x2+8x0y0x+4

y

2 0

-4=0，
從而△=16(4

x

2 0

-

y

2 0

+1)＞0，x3+x4=-

8x0y0

4 x 2 0 +1

，x3x4=

4 y 2 0 -4

4 x 2 0 +1

，
從而|PQ|=

1+ k 2 PQ

|x3-x4|=

1+ k 2 PQ

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

1+ x 2 0

16(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

，
點O到PQ的距離d=

|y0|

1+ x 2 0

，
從而S△OPQ=

1

2

•|PQ|•d=

1

2

•

1+ x 2 0

16(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

•

|y0|

1+ x 2 0

=2

y 2 0 •(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

≤

y 2 0 +(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

=1，
當且僅當

y

2 0

=4

x

2 0

-

y

2 0

+1，即

y

2 0

=2

x

2 0

+

1

2

，
又由于2x₀-4y₀+3=0，
從而消去x₀得2

y

2 0

=(4

y

0

-3)2+1，
即7

y

2 0

-12y0+5=0，解得y0=1或y0=

5

7

，
從而

x0= 1 2 y0=1

或

x0=- 1 14 y0= 5 7

，
∴所求的直線為x+2y+2=0或x-14y-10=0．

點評：本題考查橢圓和拋物線方程的求法，考查直線過定點的證明，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．