【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C與橢圓的離心率相同，且橢圓C短軸的頂點與橢圓E長軸的頂點重合.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓E有且僅有一個公共點，且與橢圓C交于不同兩點A，B，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求出橢圓的長軸及離心率，進而可得到橢圓C的短軸和離心率，進而可求得橢圓C的標(biāo)準方程；

（2）若直線的斜率不存在，易知直線與橢圓相切，不符合題，從而可知直線的斜率存在，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合，可得，然后將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，進而求得弦長的表達式，結(jié)合，可求得弦長的最大值.

（1）由題意，橢圓的長軸長為4，離心率為，

設(shè)橢圓的方程為，則橢圓的短軸長為，即，離心率為，解得，故橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時直線與橢圓相切，不滿足題意，故直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，消去得，，

則，整理得，

聯(lián)立，消去得，，

則，整理得，顯然成立，

且，，

則，

整理得，

又因為，所以，

設(shè)，則，，

因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，此時，即時，取得最大值 .

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)橢圓，過點的直線，分別交于不同的兩點、，直線恒過點

（1）證明：直線，的斜率之和為定值；

（2）直線，分別與軸相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使得為定值?若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

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【題目】已知橢圓離心率為，四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積是4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；

(2)若直線與橢圓C交于P，Q均在第一象限，直線OP，OQ的斜率分別為，，且（其中O為坐標(biāo)原點）.證明：直線l的斜率k為定值.

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【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).

（1）證明：在定義域上存在唯一的極大值點；

（2）若存在,使,證明：.

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【題目】已知動圓P與圓：內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過曲線上一點（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某書店今年5月上架10種新書，且它們的首月銷量（單位：冊）情況為：100，50，100，150，150，100，150，50，100，100，頻率為概率，解答以下問題：

（1）若該書店打算6月上架某種新書，估計它首月銷量至少為100冊的概率；

（2）若某種最新出版的圖書訂購價為10元/冊，該書店計劃首月內(nèi)按12元/冊出售，第二個月起按8元/冊降價出售，降價后全部存貨可以售出.試確定，該書店訂購該圖書50冊，100冊，還是150冊有利于獲得更多利潤？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線過橢圓的右焦點，拋物線的焦點為橢圓的上頂點，且交橢圓于兩點，點在直線上的射影依次為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交軸于點，且，當(dāng)變化時，證明： 為定值；

（3）當(dāng)變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的左、右焦點坐標(biāo)分別是，，離心率是，直線與橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動點，當(dāng)t變化時，求y的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）

已知函數(shù).

(1)求證： ；

(2)若對恒成立，求的最大值與的最小值.

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