【題目】已知橢圓離心率為，四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積是4.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線與橢圓C交于P，Q均在第一象限，直線OP，OQ的斜率分別為，，且（其中O為坐標原點）.證明：直線l的斜率k為定值.

【答案】(1)；(2)證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)離心率與四邊形面積,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進而求得橢圓的標準方程;

（2）設(shè)兩個交點P,Q,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去可得關(guān)于的一元二次方程.因為兩個交點,所以判別式,并用韋達定理表示出.由直線方程和的關(guān)系表示出.進而表示出,代入等式中.即可求得斜率的值.

（1）由題意得,,

又,

解得,

所以橢圓C的方程為；

（2）證明：直線l的方程為,點P,Q的坐標分別為,,

由,消去y得,

,

則,,

所以,

因為,

所以,

即,又,

所以,

又結(jié)合圖象可知,,

所以直線l的斜率k為定值

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省在2017年啟動了“3+3”高考模式.所謂“3+3”高考模式，就是語文、數(shù)學、外語（簡稱語、數(shù)、外）為高考必考科目，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理（簡稱理、化、生、政、史、地）六門學科中任選三門作為選考科目.該省某中學2017級高一新生共有990人，學籍號的末四位數(shù)從0001到0990.

（1）現(xiàn)從高一學生中抽樣調(diào)查110名學生的選考情況，問：采用什么樣的抽樣方法較為恰當?（只寫出結(jié)論，不需要說明理由）

（2）據(jù)某教育機構(gòu)統(tǒng)計，學生所選三門學科在將來報考專業(yè)時受限制的百分比是不同的.該機構(gòu)統(tǒng)計了受限百分比較小的十二種選擇的百分比值，制作出如下條形圖.

設(shè)以上條形圖中受限百分比的均值為，標準差為.如果一個學生所選三門學科專業(yè)受限百分比在區(qū)間內(nèi)，我們稱該選擇為“恰當選擇”.該校李明同學選擇了化學，然后從余下五門選考科目中任選兩門.問李明的選擇為“恰當選擇"的概率是多少?（均值，標準差均精確到0.1）

(參考公式和數(shù)據(jù)：，)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速，下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)（個）與對應年份編號的散點圖（為便于計算，將 2013 年編號為 1，2014 年編號為 2，…，2018年編號為 6，把每年的公共圖書館業(yè)機構(gòu)個數(shù)作為因變量，把年份編號從 1 到 6 作為自變量進行回歸分析），得到回歸直線，其相關(guān)指數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的個數(shù)是( )

①公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強

②公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個

③可預測 2019 年公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)約為3192個

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，則稱x0是函數(shù)y=f（x）的一個不動點，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+b-2

（Ⅰ）當a=2，b=1時，求函數(shù)f（x）的不動點；

（Ⅱ）若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個不同的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)y=f（x）的圖象上A，B兩點的橫坐標是函數(shù)f（x）的不動點，且直線是線段AB的垂直平分線，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．

（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于？

（2）已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合,若對于,,使得成立,則稱集合M是“互垂點集”.給出下列四個集合:;;;.其中是“互垂點集”集合的為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，.

(1)求的極值；

(2)若對任意的，當時，恒成立，求實數(shù)的最大值；

(3)若函數(shù)恰有兩個不相等的零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系中，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C與橢圓的離心率相同，且橢圓C短軸的頂點與橢圓E長軸的頂點重合.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓E有且僅有一個公共點，且與橢圓C交于不同兩點A，B，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．

（i）求證：點M在定直線上;

（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點P的坐標．

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