Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），因?yàn)榫�段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x₀，0），所以AB不平行于y軸，即x₁≠x₂；然后根據(jù)交點(diǎn)為P（x₀，0），故|PA|=|PB|，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入，同時(shí)把A、B代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程，可得x₀關(guān)于x₁和x₂的關(guān)系式，最后根據(jù)x₁和x₂的范圍確定x₀的取值范圍即可．

解答： 解：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
因?yàn)榫�段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x₀，0），
所以AB不平行于y軸，
即x₁≠x₂；
又因?yàn)榻稽c(diǎn)為P（x₀，0），
故|PA|=|PB|，
即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²…①；
∵A、B在橢圓上，
∴y12=b2-

b2

a2

x12，y22=b2-

b2

a2

x22…②，
②代入①，可得
2（x₂-x₁）x₀=(x22-x12)

a2-b2

a2

，
∵x₁≠x₂，可得x0=

x1+x2

2

•

a2-b2

a2

，
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

，
即x₀的取值范圍為（-

a2-b2

a

，

a2-b2

a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．