Question

如圖，設(shè)橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）兩頂點A（-b，0），B（b，0），短軸長為4，焦距為2，過點P（4，0）的直線l與橢圓交于C，D兩點．設(shè)直線AC與直線BD交于點Q₁．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段C，D中點Q的軌跡方程；
（3）求證：點Q₁的橫坐標(biāo)為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

2b=4 2c=2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），利用點差法能求出線段C，D中點Q的軌跡方程．
（3）設(shè)直線AC的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2)，直線BD的方程分別為：y=

y1

x1-2

(x-2)，兩式聯(lián)立，得x_Q=

2(x1y2+x2y1)+4(y2-y1)

x1y2-x2y1+2(y2+y1)

，由此能證明點Q₁的橫坐標(biāo)為定值．

解答： （1）解：∵橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）兩頂點A（-b，0），B（b，0），
短軸長為4，焦距為2，
∴

2b=4 2c=2

，解得b=2，c=1，a²=4+1=5，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

5

=1．…（3分）
（2）解：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
則

y12

5

+

x12

4

=1，①，

y22

5

+

x22

4

=1，②
①-②得 

(y2-y1)•(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

=-

5

4

，…（5分）
∵

y2-y1

x2-x1

=

y

x-4

，

y2+y1

x2+x1

=

y

x

，
∴

y

x-4

•

y

x

=-

5

4

，即5x²-20x+4y²=0（0≤x≤1）．
∴線段C，D中點Q的軌跡方程5x²-20x+4y²=0（0≤x≤1）．…（8分）
用代入法求解酌情給分．
（3）證明：設(shè)直線AC的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2)，
直線BD的方程分別為：y=

y1

x1-2

(x-2)，
兩式聯(lián)立，消去y得x_Q=

2(x1y2+x2y1)+4(y2-y1)

x1y2-x2y1+2(y2+y1)

．…（10分）
由 ①-②得
x22y12-x12y22=4（y 12-y22），
即（x₂y₁+x₁y₂）（x₂y₁-x₁y₂）=4（y₁+y₂）（y₁-y₂）．③
又P，C，D三點共線，則

y1

x1-4

=

y2

x2-4

，x₂y₁-x₁y₂=4（y₁-y₂），④
②入③得x₂y₁+x₁y₂=y₁+y₂，⑤
把③、④代入⑤整理得 xQ=

6y2-2y1

6y2-2y1

=1．（定值）．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段中點坐標(biāo)的軌跡方程的求法，考查點的橫坐標(biāo)為定值的證明，解題時要注意點差法的合理運用．