Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，過F₁的直線與雙曲線左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂為等腰直角三角形且∠ABF₂=90°，雙曲線的離心率為e，則e²=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用雙曲線的定義，推導(dǎo)出|AF₂|=4a，再利用勾股定理確定a和c的關(guān)系式，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵過F₁的直線l與雙曲線的左支相交于A、B兩點(diǎn)，
且三角形ABF₂是以∠B為直角的等腰直角三角形，
∴設(shè)|BF₂|=|AB|=x，∠ABF₂=90°，
∴|AF₁|=x-|BF₁|=2a，
∴|AF₂|=4a，
∵∠ABF₂=90°，
∴2x²=16a²，解得|BF₂|=|AB|=2

2

a，
∴|BF₁|=（2

2

+2）a，
∴[（2

2

+2）a]²+（2

2

a）²=（2c）²，
∴e²=5+2

2

．
故答案為：5+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的平方的求法，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．