Question

若（1+3x）ⁿ的展開式中，二項式系數(shù)之和為a_n，各項系數(shù)之和為b_n，則

lim

n→+∞

an-bn

an+3bn

的值為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：由題意可得a_n=2ⁿ，b_n=4ⁿ，再根據(jù)則

lim

n→+∞

an-bn

an+3bn

=

lim

n→+∞

2n-4n

2n+3•4n

=

lim

n→+∞

 

1-2n

1+3•2n

=

lim

n→+∞

 

1 2n -1

1 2n +3

，利用函數(shù)極限的運算法則計算求得結(jié)果．

解答： 解：由題意可得a_n=2ⁿ，在（1+3x）ⁿ的展開式中，令x=1可得各項系數(shù)之和為b_n=4ⁿ，
則

lim

n→+∞

an-bn

an+3bn

=

lim

n→+∞

2n-4n

2n+3•4n

=

lim

n→+∞

 

1-2n

1+3•2n

=

lim

n→+∞

 

1 2n -1

1 2n +3

=

0-1

0+3

=-

1

3

，
故答案為：-

1

3

．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入．還考查了函數(shù)極限的運算法則的應(yīng)用，屬于基題．