Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）的圖象與直線y=x相切．
（Ⅰ）求a的值，并求函數(shù)y=f（x）-x的值域；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx+1，證明：當x＞0時，f（x）＞g（x）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=ae^x，設(shè)切點為（x₀，f（x₀）），得方程組，解得x₀=0，a=1，從而y=f（x）-x=e^x-x-1，求出y=f（x）-x在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，得x=0時，y=[f（x）-x]_最小=0，進而y=f（x）-x的值域為：[0，+∞）；
（Ⅱ）x＞0時，f（x）-x＞f（0）-0=0，得f（x）＞x①，設(shè)h（x）=g（x）-x=lnx-x+1，x＞0時，h（x）≤0，即g（x）-x≤0，得g（x）≤x②，由①②得：f（x）＞g（x）．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^x，
設(shè)切點為（x₀，f（x₀）），
∴

f′(x0)=-1 f(x0)=x0

，即

aex0=1 aex0-1=x0

，
解得：x₀=0，a=1，
∵y=f（x）-x=e^x-x-1，
∴y′=e^x-1，
令y′＞0，解得：x＞0，
令y′＜0，解得：x＜0，
∴y=f（x）-x在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴x=0時，y=[f（x）-x]_最小=0，
∴y=f（x）-x的值域為：[0，+∞），
（Ⅱ）∵f（x）-x在（0，+∞）遞增，
∴x＞0時，f（x）-x＞f（0）-0=0，
∴f（x）＞x①，
設(shè)h（x）=g（x）-x=lnx-x+1，
∴h′（x）=

1-x

x

，（x＞0），
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴x＞0時，h（x）≤0，即g（x）-x≤0，
∴g（x）≤x②，
由①②得：f（x）＞g（x）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域問題，導數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．