Question

請分別用復合函數方法、換元法，證明函數y=

x

1-x

+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：法一：復合函數法：根據函數y=

x

1-x

+2=1-

1

x-1

，通過考查y=

1

x-1

、y=-

1

x-1

的單調性，得出結論．
法二：換元法，令t=x-1，可得t∈（-∞，-1），y=1-

1

t

，根據y=1-

1

t

在（-∞，-1）上是增函數，得出結論．

解答： 解：法一：復合函數法：函數y=

x

1-x

+2=

x-1+1

1-x

+2=-1-

1

x-1

+2=1-

1

x-1

，
在區(qū)間（-∞，0）上，∵y=

1

x-1

 是減函數，y=-

1

x-1

是增函數，∴y=1-

1

x-1

是增函數，
故函數y=

x

1-x

+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數．
法二：換元法，令t=x-1，∵x∈（-∞，0），∴t∈（-∞，-1），y=1-

1

t

．
由于y=1-

1

t

在（-∞，-1）上是增函數，∴函數y=

x

1-x

+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，屬于基礎題．