已知函數(shù)f(x)=3x+lnx+
4
x
+1(自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e=2.71828…).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[
1
e
,e]上的最大值與最小值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)因?yàn)?span id="ihlwfyt" class="MathJye">f(x)=3x+lnx+
4
x
+1所以f′(x)=3+
1
x
-
4
x2
=
3x2+x-4
x2
,(x>0)
,從而f(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+∞).
(2)由(1)可知,分別討論①當(dāng)
1
e
<a≤1
,②當(dāng)1<a≤e時(shí)的情況,從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最值.
解答: 解:(1)因?yàn)?span id="fqe8quz" class="MathJye">f(x)=3x+lnx+
4
x
+1
所以f′(x)=3+
1
x
-
4
x2
=
3x2+x-4
x2
,(x>0)
,
令f'(x)>0得x>1(x<-
4
3
舍去)
令f'(x)<0得0<x<1,
∴f(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+∞).
(2)由(1)可知,
①當(dāng)
1
e
<a≤1
時(shí),函數(shù)f(x)在[
1
e
,a]
上遞減,
fmax(x)=f(
1
e
)=
3
e
+4e

fmin(x)=f(a)=3a+lna+
4
a
+1
,
②當(dāng)1<a≤e時(shí),函數(shù)f(x)在[
1
e
,1]
上遞減,在[1,e]上遞增
∴fmin(x)=f(1)=8,f(a)≤f(e),
f(
1
e
)-f(a)≥f(
1
e
)-f(e)=
3
e
-1+4e-3e-1-
4
e
=
(e-1)2-2
e
>0

f(
1
e
)>f(a)
,
fmax(x)=f(
1
e
)=
3
e
+4e
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考察分類討論思想,是一道綜合題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工人在一天內(nèi)加工零件產(chǎn)生的次品數(shù)用ξ表示,椐統(tǒng)計(jì),隨機(jī)變量ξ的概率分布如下:
ξ0123
p0.10.13aa
(1)求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望;
(2)假設(shè)兩天內(nèi)產(chǎn)生的次品數(shù)互不影響,求該工人兩天內(nèi)產(chǎn)生的次品數(shù)共2個(gè)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a<0,求解關(guān)于x的不等式
ax
x-2
>1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了檢測(cè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個(gè)容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下:.
(1)完成頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖;
(3)據(jù)上述圖表,估計(jì)數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性;
(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是百分之幾
頻率分布表如下:
分組頻數(shù)頻率
[10.75,10.85)30.03
[10.85,10.95)9
[10.95,11.05)130.13
[11.05,11.15)160.16
[11.15,11.25)
[11.25,11.35)200.20
[11.35,11.45)70.07
[11.45,11.55)40.04
[11.55,11.65]0.02
合計(jì)1001.00

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
ax2-lnx,a∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]的最小值為1,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,∠C=
3

(1)若a,b,c依次成等差數(shù)列,且公差為2.求c的值;
(2)若c=
3
,求a+b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

判函數(shù)f(x)=lg(sinx+
1+sin2x
)的奇偶性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
3
2
x,sin
3
2
x),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),設(shè)f(x)=2
a
b
+m+1(m∈R);
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在x∈[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,
π
6
]時(shí),-4<f(x-
π
6
)<4恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn),若|PF2|=2|PF1|,且△PF1F2的周長(zhǎng)為9a,則雙曲線的離心率為
 

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