Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），設f（x）=2

a

•

b

+m+1（m∈R）；
（Ⅰ）求函數f（x）在x∈[0，π]上的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

6

]時，-4＜f（x-

π

6

）＜4恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：導數的綜合應用,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）先根據條件求出

a

•

b

，然后求出f（x），f′（x），根據f′（x）的符號，尋找f（x）在[0，π]上的單調遞減區(qū)間．
（Ⅱ）根據f（x-

π

6

）在[0，

π

6

]上導數的符號，從而判斷f（x-

π

6

）的單調性，從而求出該函數在[0，

π

6

]上的取值范圍，根據當x∈[0，

π

6

]時，-4＜f（x-

π

6

）＜4恒成立，變得出對m限制的式子從而求出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3

2

x•cos

1

2

x-sin

3

2

x•sin

x

2

=cos(

3

2

x+

1

2

x)=cos2x；
∴f（x）=2cos2x+m+1，∴f′（x）=-4sin2x；
x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]；
∴2x∈[0，π]，即x∈[0，

π

2

]時，f′（x）＜0；
∴函數f（x）在x∈[0，π]上的單調遞減區(qū)間是[0，

π

2

]．
（Ⅱ）x∈[0，

π

6

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，0]，∴2(x-

π

6

)∈[-

π

3

，0]，∴f′（x-

π

6

）＞0；
∴函數f（x-

π

6

）在[0，

π

6

]上單調遞增，∴f(0-

π

6

)≤f(x-

π

6

)≤f(

π

6

-

π

6

)；
∴2+m≤f（x-

π

6

）≤3+m；
又x∈[0，

π

6

]時，-4＜f（x-

π

6

）＜4恒成立；
∴

2+m＞-4 3+m＜4

，解得-6＜m＜1；
實數m的取值范圍是（-6，1）．

點評：熟練掌握兩角和的余弦公式，數量積的坐標運算公式，以及求導數判斷函數的單調區(qū)間的方法．對于第二問的解決思路是判斷函數f（x-

π

6

）在[0，

π

6

]的單調性，根據單調性求f（x-

π

6

）的取值范圍，再一個需注意的是：在得到f（x-

π

6

）的取值范圍之后應該如何限制m的取值．