Question

已知函數(shù)f(x)＝lg，其中a是大于0的常數(shù)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)當(dāng)a∈(1,4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(3)若對(duì)任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

解　(1)由，

a>1時(shí)，x²－2x＋a>0恒成立，

定義域?yàn)?0，＋∞)，

a＝1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1}，

0<a<1時(shí)，定義域?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/09/22/17/2015092217491077161169.files/image026.jpg'>．

(2)設(shè)g(x)＝x＋－2，

當(dāng)a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)時(shí)，

g′(x)＝1－＝>0恒成立，

∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函數(shù)．

∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函數(shù)．

∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值為f(2)＝lg.

(3)對(duì)任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，

即x＋－2>1對(duì)x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x²，

而h(x)＝3x－x²＝－(x－)²＋在x∈[2，＋∞)上是減函數(shù)，

∴h(x)_max＝h(2)＝2.

∴a>2.