Question

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC．E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

（1）求證：PA//平面EDB；

（2）求證：PF=PB；

（3）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，設法證明，注意到OE平面EDB，PA平面EDB，即可證得PA//平面EDB；

（2）設，由可得，即可求出，從而證得PF=PB

（3）分別求出平面PBD的一個法向量是，平面PBC的一個法向量是，利用向量夾角公式可得二面角C-PB-D的大小為

試題解析：（1）以D為原點，、、分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，設PD=DC=1，則，，，，，

連接AC，交BD于O，連接OE，則O是AC的中點，

E是PC的中點，∴，

，，PA//OE

OE平面EDB，PA平面EDB，，∴PA//平面EDB

（2）設，

則

∵EF⊥PB，∴

即，解得，PF=PB

（3）平面PBD的一個法向量是

平面PBC的一個法向量是

所以，，二面角C-PB-D的大小為

考點：線面平行判定定理，利用空間向量解決有關問題