Question

已知函數(shù)，.

（1）設(shè).

① 若函數(shù)在處的切線過點，求的值；

② 當時，若函數(shù)在上沒有零點，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，且，求證：當時，.

Answer 1

（1）①，②，（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）①利用導數(shù)幾何意義求切線斜率：，函數(shù)在處的切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點代入，得.②利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定沒有零點的條件：因為，所以根據(jù)導函數(shù)有無零點分類討論；當時，，，；當時，函數(shù)在上有最小值為，令，解得；（2）由題意，，要確定其最小值，需多次求導，反復(fù)確定求單調(diào)性，最后確定

試題解析：（1）由題意，得，

所以函數(shù)在處的切線斜率， 2分

又，所以函數(shù)在處的切線方程，

將點代入，得. 4分

（2）當，可得，因為，所以，

①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，

所以只需，解得，從而. 6分

②當時，由，解得，

當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在上有最小值為，

令，解得，所以.

綜上所述，. 10分

（3）由題意，，

而等價于，

令， 12分

則，且，，

令，則，

因， 所以， 14分

所以導數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即. 16分

考點：導數(shù)幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性