已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°.

(1)求橢圓離心率的范圍；

(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．


 (1)解　法一　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，

|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝2a.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，

4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn

＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號)．∴≥，即e≥.

又0＜e＜1，∴e的取值范圍是.

法二　如圖所示，設(shè)O是橢圓的中心，A是橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，由于∠F1PF2＝60°，則只需滿足60°≤∠F1AF2即可，

又△F1AF2是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以0°＜∠F1F2A≤60°，

所以≤cos∠F1F2A＜1，

又e＝cos∠F1F2A，所以e的取值范圍是.

(2)證明　由(1)知mn＝b2，

∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2，

即△PF1F2的面積只與短軸長有關(guān)．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：

(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；

(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；

(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．

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已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑．

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過點(diǎn)A(2,4)向圓x2＋y2＝4所引切線的方程為________．

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已知直線l：y＝－(x－1)與圓O：x2＋y2＝1在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，且l與y軸交于點(diǎn)A，則△MOA的面積等于________．

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設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線 與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若＋＝8，求k的值．

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設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為________．

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設(shè)F1，F2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為(　　)．

       A．3x±4y＝0                 B．3x±5y＝0

       C．4x±3y＝0                 D．5x＋4y＝0

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如圖，拋物線C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線C2上，

過M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B(M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O)．當(dāng)x0＝1－時(shí)，切線MA的斜率為－.

(1)求p的值；

(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O)．

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