Question

設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線 與橢圓交于C，D兩點．若＋＝8，求k的值．

Answer 1

 (1)設(shè)F(－c,0)，由＝，知a＝c.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，

代入橢圓方程＋＝1，解得y＝±b，                        

于是b＝ ，解得b＝，                                 

又a²－c²＝b²，從而可得a＝，c＝1，                               

所以橢圓的方程為＋＝1.                                          

(2)設(shè)點C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，

由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，                                                                             

由方程組消去y，

整理得(2＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－6＝0.                                      

因為直線過橢圓內(nèi)的點，無論k為何值，直線和橢圓總相交．

由根與系數(shù)的關(guān)系可得

則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，                                  

因為A(－，0)，B(，0)，所以

＝(x₁＋，y₁)·(－x₂，－y₂)＋(x₂＋，y₂)·(－x₁，－y₁)

＝6－2x₁x₂－2y₁y₂＝6－2x₁x₂－2k²(x₁＋1)(x₂＋1)

＝6－(2＋2k²)x₁x₂－2k²(x₁＋x₂)－2k²

＝6＋.                                                          

由已知得6＋＝8，

解得k＝±.