Question

如圖，在四棱錐中，平面平面，且， ．四邊形滿足，，．為側(cè)棱的中點(diǎn)，為側(cè)棱上的任意一點(diǎn).

（Ⅰ）若為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；    

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面垂直？若存在，寫出證明過程并求出線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)?sub>分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，

所以 ．

因?yàn)?sub>，所以．

而平面，平面，

所以平面．        

（Ⅱ）因?yàn)槠矫?sub>平面，

平面平面，且，平面.

所以平面，又平面，所以．

又因?yàn)?sub>，，所以平面，

而平面，

所以平面平面．…

（Ⅲ）存在點(diǎn)，使得直線與平面垂直.

在棱上顯然存在點(diǎn),使得.

由已知，，，，．

由平面幾何知識(shí)可得 ．

由（Ⅱ）知，平面，所以，

因?yàn)?sub>，所以平面．

而平面，所以．[來源:學(xué)科網(wǎng)]

又因?yàn)?sub>,所以平面.

在中，，

可求得，．

可見直線與平面能夠垂直，此時(shí)線段的長為．