Question

【題目】已知.

（1）當時，求的極值；

（2）求函數的單調區(qū)間；

（3）若有2個不同零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最大值，最小值；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）求出導函數，求出的解，列表確定在正負，從而確定的單調性，得極值；

（2）根據導函數，對分類討論：，，時，求出解，再由解的大小分類討論得單調區(qū)間；

（3）根據（2）所得單調性，結合零點存在定理可得結論．

，

（1）當時，，令得或1

		0		1
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

∴，

（2），

①當時，因為，所以，

令得：，令得：

所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減

②當時，令得，或

1°即時，或解時，，時，

所以在，上單調遞增，在上單調遞增

2°即時，在R上恒成立，所以在上單調遞增

3°即時，或時，

，時，

所以在，上單調遞增，在上單調遞增

綜上所述，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減

當時，在，上單調遞增，在上單調遞增

當時，在上單調遞增

當時，在，上單調遞增，在上單調遞增

（3）

1°當時，，只有一個零點；

2°當時，由（2）可知

，，為減函數，，，為增函數

所以而，

所以，當時，，使，

當時，，所以，

所以

取，則，

所以，所以函數有2個零點.

3°當時，，令得，

①，即時，由（2）可得：，

∴函數至多有一個零點，不符合題意；

②時，，在單調遞增，

所以至多有一個零點，不合題意

③當時，即時，，時，，.

所以，函數至多有1個零點

綜上：a的取值范圍是