Question

16．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖22中△A₁BE的位置，得到四棱錐A₁-BCDE．
（文、理科）證明：CD⊥平面A₁OC；
（理科） 若平面A₁BE⊥平面BCDE，求二面角D-A₁C-B的余弦值．
（文科） 若平面A₁BE⊥平面BCDE，求二面角A₁-DC-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）先證BE⊥平面A₁OC，又CD∥BE，得CD⊥平面A₁OC．
（2）（理） 由已知得∠A₁OC為二面角A₁-BE-C的平面角，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，面A₁BC與面A₁CD夾角為θ，
從而cosθ=cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即平面A₁CB與平面A₁CD夾角的余弦值．
（2）（文）因?yàn)镺C⊥CD，A₁C⊥CD，所以∠A₁CO即為二面角A₁-DC-B的平面角，計(jì)算得∠A₁CO=45°．

解答 解：（1）在圖1中，AD∥BC，AB=BC=1，AE=1，∠BAD=90°，所以BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥A₁O，BE⊥OC又A₁O∩OC=O，
所以BE⊥平面A₁OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A₁OC．
（2）（理） 由已知，平面A₁BE⊥平面BCDE，
又由（I）知，BE⊥A₁O，BE⊥OC
所以∠A₁OC為二面角A₁-BE-C的平面角，所以∠A₁OC=90°．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳₁B=A₁E=BC=ED=1，BC∥ED，
所以B（$\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0$），E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0）$，A₁$（0，0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$C（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）$\overrightarrow{BC}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$
$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（0，\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BE}=（-\sqrt{2}，0，0）$．
設(shè)平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
面A₁BC與面A₁CD夾角為θ，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=-{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}C}={y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CD}={x}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}C}={y}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，1，1）$，
從而cosθ=cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即平面A₁CB與平面A₁CD夾角的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）（文）因?yàn)镺C⊥CD，A₁C⊥CD，
所以∠A₁CO即為二面角A₁-DC-B的平面角，計(jì)算得∠A₁CO=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面、面面位置關(guān)系的證明，及向量法求二面角，屬于中檔題．