Question

18．如圖，已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=120°．
（Ⅰ）若c=1，求△ABC面積的最大值；
（Ⅱ）若a=2b，求tanA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理，基本不等式可得$ab≤\frac{1}{3}$，進而利用三角形面積公式即可計算得解．
（Ⅱ）由正弦定理得sinA=2sinB，利用三角形內(nèi)角和定理可求B=60°-A，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可化簡求值得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得a²+b²-2abcos120°=1，…（2分）
a²+b²+ab=1≥2ab+ab=3ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號；
解得$ab≤\frac{1}{3}$，…（4分）
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，即f（x）面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．…（6分）
（Ⅱ）因為a=2b，由正弦定理得sinA=2sinB，…（8分）
又C=120°，故A+B=60°，
∴$sinA=2sin（60°-A）=\sqrt{3}cosA-sinA$，…（10分）
∴$\sqrt{3}cosA=2sinA$，
∴$tanA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面積公式，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．