Question

從雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=9的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|-|MT|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線方程，算出c=5，根據(jù)三角形中位線定理和圓的切線的性質(zhì)，并結(jié)合雙曲線的定義可得|MO|-|MT|=4-a=1，得到本題答案．

解答： 解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，則MO是△PFF′的中位線，
∴|MO|=

1

2

|PF′|，|MT|=

1

2

|PF|-|FT|，
根據(jù)雙曲線的方程得：
a=3，b=4，c=5，∴|OF|=5，
∵PF是圓x²+y²=9的切線，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|=4，
∴|MO|-|MT|=|=

1

2

|PF′|-（

1

2

|PF|-|FT|）=|FT|-

1

2

（|PF|-|PF′|）=4-a=1
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線與圓的方程，求|MO|-|MT|的值，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、三角形中位線定理和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．