Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AEC₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)A₁到平面AEC₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接EO，由已知得EO∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出點(diǎn)A₁到平面AEC₁的距離．

解答： （I）證明：連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接EO，
因?yàn)锳CC₁A₁為正方形，所以O(shè)為A₁C中點(diǎn)，
又E為CB中點(diǎn)，所以EO為△A₁BC的中位線，
所以EO∥A₁B，
又EO?平面AEC₁，A₁B不包含于平面AEC₁，
所以A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），A₁（0，0，2），E（1，1，0），C₁（0，2，2），

AA1

=（0，0，2），

AE

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，2），
設(shè)平面AEC₁的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AE =x+y=0 n • AC1 =2y+2z=0

，
取y=-1，得

n

=(1，-1，1)，
∴點(diǎn)A₁到平面AEC₁的距離d=

| AA1 ， n |

| n |

=

|2|

3

=

2 3

3

．
∴點(diǎn)A₁到平面AEC₁的距離為

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．