Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f²（x）-2f（x）f（x+1）+2f（x+1）=0（x∈R），
（1）用反證法證明：f（x）不可能為正比例函數(shù)；
（2）若f（0）=4，求f（1）、f（2）的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的x∈N^*，均有：2＜f（x）＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,反證法與放縮法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）運(yùn)用反證法證明，假設(shè)f（x）=kx，（k≠0），代入條件化簡(jiǎn)整理，推出k=0與條件矛盾，得證；
（2）分別令x=0，x=1求出f（1），f（2），然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意x=k+1時(shí)的f（k+1）注意拆項(xiàng)和換元，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)，求出范圍即可得證．

解答： （1）證明：假設(shè)f（x）=kx，（k≠0），
代入f²（x）-2f（x）f（x+1）+2f（x+1）=0（x∈R），
可得：-k²x²+（2k-2k²）x+2k=0對(duì)任意x恒成立，
故必有k=0，但由題設(shè)知k≠0，
故f（x）不可能為正比例函數(shù)．
（2）由f（0）=4，則f²（0）-2f（0）f（1）+2f（1）=0，
即16-8f（1）+2f（1）=0，可得：f(1)=

8

3

，
由f²（1）-2f（1）f（2）+2f（2）=0，可得f(2)=

32

15

．
證明：當(dāng)x=1時(shí)：顯然有2＜f（1）＜3成立．
假設(shè)當(dāng)x=k時(shí)，仍然有2＜f（k）＜3成立．則當(dāng)x=k+1時(shí)，
由原式整理可得：f(k+1)=

f2(k)

2f(k)-2

=

1

2

[(f(k)-1)+

1

(f(k)-1)

+2]．
令t=f（k）-1∈（1，2），故f(k+1)=

1

2

(t+

1

t

+2)∈(2，

9

4

)⊆（2，3）．
故2＜f（k+1）＜3成立．
綜上可得：對(duì)任意的x∈N^*，均有2＜f（x）＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明方法：反證法，數(shù)學(xué)歸納法，同時(shí)考查抽象函數(shù)的賦值法，考查基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．