Question

如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別為AE，AB的中點．

(1)證明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

   

解　(1)證明：因為P，Q分別為AE，AB的中點，

所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，

又PQ⊄平面ACD，

從而PQ∥平面ACD.

(2)如圖，連接CQ，DP，因為Q為AB的中點，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.

因為DC⊥平面ABC，

EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.

故CQ⊥平面ABE.

由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，

所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ.

因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，

sin∠DAP＝，

因此AD和平面ABE所成角的正弦值為.