已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且 (λ＞0)，定點(diǎn)A(－4，0)．

(1) 求證：當(dāng)λ＝1時(shí)，；

(2) 若當(dāng)λ＝1時(shí)，有＝，求橢圓C的方程．


(1)    證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(xiàn)(c，0)，則＝(c－x1，－y1)，＝(x2－c，y2)．當(dāng)λ＝1時(shí)，，∴  －y1＝y(tǒng)2，x1＋x2＝2c.∵  M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，

(2)    ∴，∴  x＝x.若x1＝－x2，則x1＋x2＝0≠2c(舍去)，∴  x1＝x2，

 

(2) 解：當(dāng)λ＝1時(shí)，由(1)知x1＝x2＝c，

代入(*)式得c2＋8c＋16＝，∴  c＝2或c＝－(舍去)．∴  a2＝6，b2＝2，∴  橢圓C的方程為＝1.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1) 求點(diǎn)B的軌跡方程；

(2) 當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；

(3) 若G是圓C上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線l1：y＝x和l2：y＝－x 相切的圓，

(1) 求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(2) 是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：

① l分別與直線l1和l2交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4，1)；

② l被圓N截得的弦長為2.

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方程＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________.

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設(shè)F1、F2分別是橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x＝上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是________．

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如圖，已知橢圓＝1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.

(1) 若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；

(2) 若，求橢圓的方程．

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已知橢圓的右焦點(diǎn)F，左、右準(zhǔn)線分別為l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分別與直線y＝x相交于A、B兩點(diǎn)．

(1) 若離心率為，求橢圓的方程；

(2) 當(dāng)<7時(shí)，求橢圓離心率的取值范圍．

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若雙曲線－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，則它的離心率為________．

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的大小關(guān)系是______________．

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