如圖，在平面直角坐標系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D.

(1) 求點B的軌跡方程；

(2) 當點D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；

(3) 若G是圓C上的另一個動點，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．


解：(1) 連結BF，由已知BF＝BE，所以BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4，

所以點B的軌跡是以C、F為焦點，長軸為4的橢圓，所以B點的軌跡方程為＋＝1.

(2) 當點D位于y軸的正半軸上時，因為D是線段EF的中點，O為線段CF的中點，所以CE∥OD，且CE＝2OD，所以E、D的坐標分別為(－1，4)和(0，2)．

因為PQ是線段EF的垂直平分線，所以直線PQ的方程為y＝x＋2，即直線PQ的方程為x－2y＋4＝0.

(3) 設點E、G的坐標分別為(x1，y1)和(x2，y2)，則點M的坐標為，因為點E、G均在圓C上，且FG⊥FE，所以(x1＋1)2＋y＝16，①　(x2＋1)2＋y＝16，②

(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，③

所以x＋y＝15－2x1，x＋y＝15－2x2，x1x2＋y1y2＝x1＋x2－1.所以MO2＝[(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝·[(x＋y)＋(x＋y)＋2(x1x2＋y1y2)]＝[15－2x1＋15－2x2＋2(x1＋x2－1)]＝7，即M點到坐標原點O的距離為定值，且定值為.


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點向右平行移動 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是____________________．

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已知角θ的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosθ＝－，則sinθ＝____________，tanθ＝____________．

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已知雙曲線方程是x2－＝1，過定點P(2，1)作直線交雙曲線于P1、P2兩點，并使P(2，1)為P1P2的中點，則此直線方程是____________．

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1) 設動點P滿足PF2－PB2＝4，求點P的軌跡；

(2) 設x1＝2，x2＝，求點T的坐標；

(3) 設t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個端點為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點A、B.

(1) 若AB＝，求k的值；

(2) 求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


　如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1) 當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

(2) 當＝λ，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


 已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且 (λ＞0)，定點A(－4，0)．

(1) 求證：當λ＝1時，；

(2) 若當λ＝1時，有＝，求橢圓C的方程．

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