Question

將二次函數(shù)y=-x²的圖象按

a

=（h，1）平移，使得平移后的圖象與函數(shù)y=x²-x-2的圖象有兩個不同的公共點A和B，且向量

OA

+

OB

（O為原點）與向量

b

=（2，-4）共線，求平移后的圖象的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量平移可以設(shè)所求解析式為y=-（x-h）²+1，所以聯(lián)立解析式y(tǒng)=x²-x-2便可得到2x²-（2h+1）x+h²-3=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理便得x1+x2=

2h+1

2

，x1x2=

h2-3

2

，并且能得到y1+y2=-

5

4

，這樣便得到

OA

+

OB

=(

2h+1

2

，-

5

4

)，而根據(jù)向量

OA

+

OB

和向量

b

共線，即知存在實數(shù)，并且知道該實數(shù)為

5

16

，使得

OA

+

OB

=

5

16

b

，帶入坐標即可求得h．

解答： 解：設(shè)所求解析式為y-1=-（x-h）²；
由

y=-(x-h)2+1 y=x2-x-2

得，2x²-（2h+1）x+h²-3=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：
x1+x2=

2h+1

2

，x1x2=

h2-3

2

；
∴y1+y2=x12-x1-2+x22-x2-2=(x1+x2)2-2x1x2-(x1+x2)-4=(

2h+1

2

)2-2•

h2-3

2

-

2h+1

2

-4=-

5

4

；
∴

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=（

2h+1

2

，-

5

4

）；
∵

OA

+

OB

和

b

=(2，-4)共線；
∴(

2h+1

2

，-

5

4

)=

5

16

(2，-4)；
∴

2h+1

2

=

5

8

；
∴h=

1

8

；
∴所求解析式為y=(x-

1

8

)2+1=x2-

1

4

x+

65

64

；
即y=x2-

1

4

x+

65

64

．

點評：考查向量平移的概念，及平移前后坐標的關(guān)系，韋達定理，共線向量基本定理，以及向量坐標的數(shù)乘運算．