Question

如圖，在△ABC中，線段BE，CF交于點(diǎn)P，設(shè)向量

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AP

=

c

，

AF

=

2

3

a

，

AE

=

1

2

b

，則向量

c

可以表示為（　�。�

• A、

  c

  =

  3

  4

  a

  +

  1

  2

  b

• B、

  c

  =

  1

  2

  a

  +

  3

  4

  b

• C、

  c

  =

  1

  2

  a

  +

  1

  4

  b

• D、

  c

  =

  1

  4

  .

  a

  +

  1

  2

  .

  b

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由圖形知道F，P，C三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)λ，使

AP

=λ

AF

+(1-λ)

AC

，由已知

AF

=

2

3

a

，

AE

=

1

2

b

，所以

AP

=

2

3

λ

a

+(1-λ)

b

，同理可得

AP

=μ

AB

+(1-μ)

AE

=μ

a

+

1

2

(1-μ)

b

，利用平面向量基本定理可得方程組解出λ、μ，得到選項(xiàng)．

解答： 解：因?yàn)镕，P，C三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使

AP

=λ

AF

+(1-λ)

AC

，
由已知

AF

=

2

3

a

，

AE

=

1

2

b

，所以

AP

=

2

3

λ

a

+(1-λ)

b

，
同理

AP

=μ

AB

+(1-μ)

AE

=μ

a

+

1

2

(1-μ)

b

，
∴

2 3 λ=μ 1-λ= 1 2 (1-μ)

解得

λ= 3 4 μ= 1 2

所以

c

=

1

2

a

+

1

4

b

；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量基本定理運(yùn)用，以及三點(diǎn)共線的向量性質(zhì)的運(yùn)用，靈活運(yùn)用定理是關(guān)鍵．