【題目】如圖,有一塊三棱錐形木塊,各面均是銳角三角形,其中面
內(nèi)有一點(diǎn)
.
(1)若要在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)
畫一條線段
,其中點(diǎn)
在線段
上,點(diǎn)
在線段
上,且滿足
與
垂直,該如何求作?請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段
并說(shuō)明畫法,不必證明;
(2)經(jīng)測(cè)量,,
,
,
,若
恰為三角形
的重心,
為(1)中所求線段,求三棱錐
的體積.
【答案】(1)作圖詳見解析;(2).
【解析】
(1)先在上任取一點(diǎn)
,分別在平面
和平面
內(nèi)作
的垂線分交
、
于點(diǎn)
、
,可得出
平面
,進(jìn)而得出
,然后分兩種情況討論,
和
,即可作出
;
(2)先證明出,根據(jù)重心的性質(zhì)得出三棱錐
的體積為三棱錐
體積的
,利用余弦定理計(jì)算出
、
,進(jìn)而計(jì)算出
的面積,由此可計(jì)算出三棱錐
的體積,進(jìn)而得出三棱錐
的體積.
(1)如圖,在上任取一點(diǎn)
;
過(guò)點(diǎn)在平面
內(nèi)作
的垂線,交
于
;
過(guò)點(diǎn)在平面
內(nèi)作
的垂線,交
于
.
連接,若
過(guò)點(diǎn)
,則
就是所求線段
;
若不過(guò)點(diǎn)
,則過(guò)點(diǎn)
作
的平行線,與
、
相交即得線段
.
(2)取中點(diǎn)
,連
、
,
因?yàn)?/span>為三角形
的重心,故
在
上,且
.
由題意知,,
,
,故
平面
,
平面
,
,
又,
與
共面,于是
,
,
故三棱錐的體積為三棱錐
體積的
.
,
,則
為等邊三角形,
,
,
在中,由余弦定理得
,
整理得,解得
或
.
若,此時(shí)
為等腰三角形,
,
,合乎題意;
若,則
,
為鈍角,不合乎題意.
同理可得,
,
在中,
,
,
,由余弦定理得
,
,
,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的偶函數(shù)
滿足
,且
,當(dāng)
時(shí),
.已知方程
在區(qū)間
上所有的實(shí)數(shù)根之和為
.將函數(shù)
的圖象向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)
的圖象,則
__________,
__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與
,各自相互獨(dú)立.現(xiàn)兩人做投籃游戲,共比賽3局,每局每人各投一球.
(1)求比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1的概率;
(2)設(shè)表示比賽結(jié)束后甲、乙兩人進(jìn)球數(shù)的差的絕對(duì)值,求
的概率分布和數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合,
,
,令
表示集合
所含元素的個(gè)數(shù).
(1)寫出的值;
(2)當(dāng)時(shí),寫出
的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多),要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡,要求同一條線段兩端的燈泡不同色,則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有 種(用數(shù)字作答).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)三位數(shù):個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為,
,
,當(dāng)且僅當(dāng)
,
時(shí),稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243),現(xiàn)從集合
中取出三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù),則這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知射線l:θ=與曲線C:
(t為參數(shù))相交于A,B兩點(diǎn).
(1)寫出射線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)系有6名大學(xué)生要去甲、乙兩所中學(xué)實(shí)習(xí),每名大學(xué)生都被隨機(jī)分配到兩所中學(xué)的其中一所.
(1)求6名大學(xué)生中至少有1名被分配到甲學(xué)校實(shí)習(xí)的概率;
(2)設(shè),
分別表示分配到甲、乙兩所中學(xué)的大學(xué)生人數(shù),記
,求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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