已知函數(shù),設(shè)曲線
在與
軸交點(diǎn)處的切線為
,
為
的導(dǎo)函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設(shè),
,求函數(shù)
在
上的最大值;
(3)設(shè),若對(duì)于一切
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(1);(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),由,知其對(duì)稱軸,曲線的切線問題,可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切點(diǎn)處切線的斜率)列出方程組求解;(2)
,畫出函數(shù)圖象考察其單調(diào)性,根據(jù)其單調(diào)區(qū)間對(duì)
的值分類討論求出其最大值;(3)對(duì)不等式
進(jìn)行化簡(jiǎn),得
恒成立,即
,且
,對(duì)任意的
成立,然后又轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,要注意
,從而有
.
試題解析:(1),∵
,
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱,
, 2分
∵曲線在與
軸交點(diǎn)處的切線為
,∴切點(diǎn)為
,
∴,解得
,則
5分
(2)∵,
∴,其圖象如圖
7分
當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
,
綜上
10分
(3),
,
當(dāng)時(shí),
,所以不等式等價(jià)于
恒成立,
解得,且
,
13分
由,得
,
,所以
,
又,∵
,∴所求的實(shí)數(shù)
的的取值范圍是
16分
考點(diǎn):函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、曲線的切線、不等式恒成立問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江蘇省啟東市高三上學(xué)期第一次檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線
在與
軸交點(diǎn)處的切線為
,
為
的導(dǎo)函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設(shè),
,求函數(shù)
在
上的最大值;
(3)設(shè),若對(duì)于一切
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省高三下學(xué)期回頭考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線
在與
軸交點(diǎn)處的切線為
,
為
的導(dǎo)函數(shù),滿足
.
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè),
,求函數(shù)
在
上的最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省深圳市高三第一次調(diào)研理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù),設(shè)曲線
在與
軸交點(diǎn)處的切線為
,
為
的導(dǎo)函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設(shè),
,求函數(shù)
在
上的最大值;
(3)設(shè),若對(duì)一切
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù),設(shè)曲線
在與x軸交點(diǎn)處的切線為
,
為
的導(dǎo)函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設(shè),m>0,求函數(shù)
在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè),若對(duì)于一切
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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