已知函數(shù),設曲線
在與
軸交點處的切線為
,
為
的導函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設,
,求函數(shù)
在
上的最大值;
(3)設,若對于一切
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
(1);(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)三次函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù),由,知其對稱軸,曲線的切線問題,可利用導數(shù)的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解;(2)
,畫出函數(shù)圖象考察其單調性,根據(jù)其單調區(qū)間對
的值分類討論求出其最大值;(3)對不等式
進行化簡,得
恒成立,即
,且
,對任意的
成立,然后又轉化為求函數(shù)的最值問題,要注意
,從而有
.
試題解析:(1),∵
,
∴函數(shù)的圖象關于直線
對稱,
,
2分
∵曲線在與
軸交點處的切線為
,∴切點為
,
∴,解得
,則
5分
(2)∵,
∴,其圖象如圖
7分
當時,
,
當時,
,
當時,
,
綜上
10分
(3),
,
當時,
,所以不等式等價于
恒成立,
解得,且
,
13分
由,得
,
,所以
,
又,∵
,∴所求的實數(shù)
的的取值范圍是
16分
考點:函數(shù)與導數(shù)、曲線的切線、不等式恒成立問題.
科目:高中數(shù)學 來源:2014屆江蘇省啟東市高三上學期第一次檢測理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),設曲線
在與
軸交點處的切線為
,
為
的導函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設,
,求函數(shù)
在
上的最大值;
(3)設,若對于一切
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江省高三下學期回頭考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),設曲線
在與
軸交點處的切線為
,
為
的導函數(shù),滿足
.
(1)求的單調區(qū)間.
(2)設,
,求函數(shù)
在
上的最大值;
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣東省深圳市高三第一次調研理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù),設曲線
在與
軸交點處的切線為
,
為
的導函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設,
,求函數(shù)
在
上的最大值;
(3)設,若對一切
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知函數(shù),設曲線
在與x軸交點處的切線為
,
為
的導函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設,m>0,求函數(shù)
在[0,m]上的最大值;
(3)設,若對于一切
,不等式
恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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