Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，且），曲線在點處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若對任意，與有且只有兩個交點，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，從而可得，從而解得；

（2），則任意，與有且只有兩個交點，等價于函數(shù)在有且只有兩個零點，求導(dǎo)，從而分類討論求的取值范圍.

試題解析：（1）由，得， 1分

由題意得， 2分 ∵，∴； 3分

（2）令，則任意，與有且只有兩個交點，等價于函數(shù)在有且只有兩個零點，由，得， 5分

①當時，由得，由得，

此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，

，（或當時，亦可），∴要使得在上有且只有兩個零點，則只需

，即， 7分

②當時，由得或，由得，此時在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增. 此時，∴此時在至多只有一個零點，不合題意， 9分

③當時，由得或，由得，此時在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，∴在至多只有一個零點，不合題意， 11分

綜上所述，的取值范圍為； 12分

考點：導(dǎo)數(shù)的運用.