Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx-x²．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在區(qū)間[1，3]內(nèi)恰有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解f′（x）＞0便得增區(qū)間．要使關(guān)于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在區(qū)間[1，3]內(nèi)恰有兩個相異實根，也就是讓函數(shù)f（x）+x²-x-2-a在[1，3]內(nèi)有兩個零點，令g（x）=f（x）+x²-x-2-a=2lnx-x-2-a，下面要做的就是考查g（x）在區(qū)間[1，3]內(nèi)最值情況，若有最大值，則限制最大值大于0，然后兩個端點值都小于0，若有最小值，情況恰好相反．

解答： 解：（1）f′（x）=

2(1-x2)

x

，∵x＞0，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1]．
（2）將f（x）代人方程f（x）+x²-x-2-a=0得2lnx-x-2-a=0，令g（x）=2lnx-x-2-a則g′（x）=

2-x

x

；
∴x∈[1，2）時，g′（x）＞0；x∈（2，3]時，g′（x）＜0；
∴g（2）是g（x）的極大值，也是g（x）在[1，3]上的最大值；
∵關(guān)于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在區(qū)間[1，3]內(nèi)恰有兩個相異實根；
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，3]內(nèi)有兩個零點；則有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，所以有：

2ln2-4-a＞0 -3-a＜0 2ln3-5-a＜0

解得：2ln3-5＜a＜2ln2-4，所以a的取值范圍是（2ln3-5，2ln2-4）．

點評：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這個不難掌握，注意做第二題g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，這幾個限制條件的得出，并掌握做這類題的方法．