Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0
②f（1）=1
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂） 成立則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，則f（0）=

 

；
（Ⅱ）下列結(jié)論正確的是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①函數(shù)f（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是理想函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）是理想函數(shù)，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)理想函數(shù)的概念，可以采用賦值法，可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）
+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0；
（Ⅱ）①要判斷函數(shù)g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]）在區(qū)間[0，1]上是否為“理想函數(shù)，只要檢驗函數(shù)g（x）=2^x-1，是否滿足理想函數(shù)的三個條件即可；
②由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導(dǎo)出f（x₀）=x₀．，根據(jù)f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀．

解答： 解：（Ⅰ）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0；
（Ⅱ）①顯然f（x）=2^x-1在[0，1]上滿足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
故f（x）=2^x-1滿足條件①②③，所以f（x）=2^x-1為理想函數(shù)．
②由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．
故答案為：0，①②．

點評：賦值法是解決抽象函數(shù)問題的常用方法，函數(shù)的新定義則轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)問題，本題則結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，探討函數(shù)的函數(shù)值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用等知識點．