Question

已知函數f(x)=ax-lnx+

a-1

x

-1，試討論f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：對函數f（x）求導數，根據f′（x）的符號即可判斷f（x）的單調性，這里要注意怎樣對a討論，求導之后你會得到f′（x′）=

(x-1)(ax+a-1)

x2

，因x＞0，所以只需對（x-1）（ax+a-1）討論符號．在這里你很容易想到要提出a，所以需要先討論a是否等于0，等于0的情況很容易求出單調區(qū)間，對于a不等于0的情況，先提出a得到f′（x）=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

，這時這樣進行討論：

1-a

a

≤0，0＜

1-a

a

＜1，

1-a

a

=1，

1-a

a

＞1，這樣便完成對f（x）單調性的討論．

解答： 解：f′(x)=

ax2-x-a+1

x2

=

(x-1)(ax+a-1)

x2

．
當a=0時f′(x)=

1-x

x2

，∴f（x）在（0，1]上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
當a≠0時，f′(x)=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

當a＜0  時，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1]上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜

1

2

 時，

1-a

a

＞1，∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在(1，

1-a

a

)上單調遞減，在[

a-1

a

，+∞)上單調遞增；
當a=

1

2

 時，

1-a

a

=1，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當

1

2

＜a＜1 時，0＜

1-a

a

＜1，∴f(x) 在(0，

1-a

a

)上單調遞增，在(

1-a

a

，1)上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
當a≥1時，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1）單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增；

點評：用導數法判斷f（x）的單調性，這個很容易想到，而要注意的是怎樣對a取值的討論．