Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)， 且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且.

【解析】試題分析：(1)由題目已知離心率為，且過點(diǎn)即可求出橢圓方程(2)先假設(shè)存在，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程， ，根據(jù)直線與圓相切及，得出方程組，從而求解出結(jié)果，再討論斜率不存在時(shí)的情況

解析：（1）由已知得，又，得，解得

（2）假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中.

設(shè)該圓的任意一條切線和橢圓交于兩點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，令直線的方程為

因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，

所以圓的半徑為①

聯(lián)立方程得

要使，需使，即，

所以，②

， ，所求的圓為，

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為

或滿足，

綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，

使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且.