Question

已知橢圓的離心率為，右焦點為，過原點的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線交橢圓于點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：為定值，并求面積的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，

因為，所以，                         ………2分

所以 

        所以橢圓的方程為                    ………4分

  （Ⅱ）當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時，

易得，的面積 …1分

當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，

        則由 消元得，

所以，       ………3分

所以         ………4分

又是線段的垂直平分線，故方程為，          

同理可得         ………5分 

從而為定值。

…7分

方法一：由，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立，

所以的面積 。                    ………9分

所以，當(dāng)時，的面積有最小值。                ………10分

方法二：的面積

所以

       9       ………9分

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，的面積有最小值。