Question

已知橢圓：經(jīng)過(guò)如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：，，，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經(jīng)過(guò)，，.

于是.

所以 橢圓的方程為：.                  

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，由得

.設(shè)，則，

所以

.

于是，此時(shí)，所以 直線(xiàn).

因?yàn)?sub>，故線(xiàn)段與軸相交于，即原點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即原點(diǎn)在的外部，符合題設(shè).                

所以

.

當(dāng)時(shí)取到最大值.                              

②當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).

設(shè)直線(xiàn)，由得.

所以 或.

所以，由，可得直線(xiàn).

由得.

所以 .

所以 線(xiàn)段與軸相交于.

顯然原點(diǎn)在線(xiàn)段上，即原點(diǎn)在的內(nèi)部，不符合題設(shè).

綜上所述，所求的面積的最大值為.