Question

3．若x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ x-y≤1\;，\;\\ x+y≤1\;\end{array}\right.$且z=x+ay的最大值為2，則a=2，-2．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，分別得到過區(qū)域界點(diǎn)時(shí)的a值，然后根據(jù)條件驗(yàn)證即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ x-y≤1\;，\;\\ x+y≤1\;\end{array}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+ay得y=$-\frac{1}{a}$x$+\frac{z}{a}$，
由圖象可知
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1）時(shí)，z最大為2，
即x+ay=2．此時(shí)0-a=2．
解得a=-2．直線為y=$\frac{1}{2}$x$-\frac{z}{2}$經(jīng)過A時(shí)z最大滿足題意；
當(dāng)直線經(jīng)過B（1，0），z最大為2，即x+ay=2，
此時(shí)1-0=2矛盾；故不合題意．
當(dāng)直線經(jīng)過圖中C（0，1）時(shí)，z最大為2即a=2，此時(shí)直線方程為y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$經(jīng)過C時(shí)在y軸截距最大，z最大；滿足題意；
綜上滿足條件的a=2或-2．
故答案為：2，-2．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法