Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）函數(shù)的極小值為, 無極大值；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求出，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，即可得出曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率，然后用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；（2）令導(dǎo)數(shù)大于0解出函數(shù)的增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，解出函數(shù)的減區(qū)間，然后由極值判斷規(guī)則確定極值即可；（3）由恒成立，得到在上恒成立，于是構(gòu)造函數(shù)，即可將所求問題轉(zhuǎn)化為.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， ，，，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即,

（2）令，得，

列表：

	-	0	+
	↘		↗

 

函數(shù)的極小值為, 無極大值。

（3）依題意對恒成立

等價于在上恒成立

可得在上恒成立，

令,

令，得

列表：

	-	0	+
	↘		↗

 

函數(shù)的最小值為,

根據(jù)題意，.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最下值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.