已知x＝1是函數(shù)f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一個極值點，其中m、n∈R，m<0.

(1)求m與n的關(guān)系表達式；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)x∈[－1,1]時，函數(shù)y＝f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．


解　(1)f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋n.

因為x＝1是f(x)的一個極值點，所以f′(1)＝0，

即3m－6(m＋1)＋n＝0，所以n＝3m＋6.

(2)由(1)知，f′(x)＝3mx2－6(m＋1)x＋3m＋6

＝3m(x－1)

當(dāng)m<0時，有1>1＋，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化如下表：

x

(－∞，1＋)

1＋

(1＋，1)

1

(1，＋∞)

f′(x)

<0

0

>0

0

<0

f(x)

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減
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