Question

已知點(diǎn)P(0,5)及圓Cx²＋y²＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直線l過(guò)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；

(2)求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

[分析]　(1)根據(jù)弦長(zhǎng)求法，求直線方程中的參數(shù)；

(2)由垂直關(guān)系找等量關(guān)系．

[解析]　(1)解法1：如圖所示，AB＝4，D是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，

在Rt△ACD中，可得CD＝2.

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，

即kx－y＋5＝0.

由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：

，得k＝.

k＝時(shí)，直線l的方程為3x－4y＋20＝0.

又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0.

∴所求直線的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0.

解法2：當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，即y＝kx＋5，

將②式代入，解得k＝，

此時(shí)直線方程為3x－4y＋20＝0.

又k不存在時(shí)也滿足題意，此時(shí)直線方程為x＝0.

∴所求直線的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.

(2)設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，

則CD⊥PD，即＝0，

(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，

化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x²＋y²＋2x－11y＋30＝0.