Question

已知P（-2，3）是函數(shù)y=

k

x

圖象上的點，Q是雙曲線在第四象限這一分支上的動點，過點Q作直線，使其與雙曲線y=

k

x

只有一個公共點，且與x軸、y軸分別交于點C、D，另一條直線y=

3

2

x+6與x軸、y軸分別交于點A、B．則
（1）O為坐標(biāo)原點，三角形OCD的面積為

 

．
（2）四邊形ABCD面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得直線CD與雙曲線在第四象限這一分支相切，利用導(dǎo)數(shù)法求出直線的方程，進而可得C，D兩點的坐標(biāo)，進而得到三角形OCD的面積；
（2）四邊形ABCD面積S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△OAD，結(jié)合（1）中結(jié)論和基本不等式，可得四邊形ABCD面積的最小值．

解答： 解：（1）∵P（-2，3）是函數(shù)y=

k

x

圖象上的點，
故k=-6，即y=

-6

x

，則y′=

6

x2

，
設(shè)Q是雙曲線在第四象限這一分支上的動點（a，

-6

a

），（a＞0），
則由題意得直線CD與雙曲線在第四象限這一分支相切，
故直線CD的方程為：y+

6

a

=

6

a2

（x-a），
令y=0，可得x=2a，即C點坐標(biāo)為（2a，0），
令x=0，可得y=-

12

a

，即D點坐標(biāo)為（0，-

12

a

），
故三角形OCD的面積S_△OCD=

1

2

×2a×

12

a

=12，
（2）∵直線y=

3

2

x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，
則A（-4，0），B（0，6），
故四邊形ABCD面積S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△OAD=

1

2

×4×6+

1

2

×2a×6+

1

2

×4×

12

a

+12=24+6a+

24

a

≥24+2

6a• 24 a

=48，
即四邊形ABCD面積的最小值為48，
故答案為：12，48

點評：本題綜合考查了三角形的面積，反比例函數(shù)的解析式，平行線的性質(zhì)和判定，菱形的判定，根的判別式，方程組等知識點，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行計算的能力，本題綜合性比較強，難度偏大，對學(xué)生提出較高的要求．