Question

（1）將一骰子拋擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)分別記為m、n，求函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上為增函數(shù)的概率．
（2）在區(qū)間[-π，π]內(nèi)隨即取出兩個(gè)數(shù)分別記作a，b，求函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+π²有零點(diǎn)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）將一骰子向上拋擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)分別為m和n的基本事件個(gè)數(shù)有36個(gè)．函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上為增函數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)為30個(gè)，利用古典概型公式即可得到答案．
（2）求出區(qū)間[-π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積，再求出滿足條件使得函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+π²有零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，然后代入幾何概型公式，即可求解．

解答： 解：（1）函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上為增函數(shù)，等價(jià)于導(dǎo)數(shù)y′=2mx²-n 在[1，+∞）上大于或等于0恒成立．
而x²≥

n

2m

在[1，+∞）上恒成立即

n

2m

≤1．
∵將一骰子向上拋擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)分別為m和n的基本事件個(gè)數(shù)為36個(gè)，而滿足

n

2m

≤1包含的（m，n）基本事件個(gè)數(shù)為30個(gè)，
故函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上為增函數(shù)的概率是

30

36

=

5

6

；
（2）若使函數(shù)有零點(diǎn)，必須△=（2a）²-4（-b²+π²）≥0，即a²+b²≥π²．
在坐標(biāo)軸上將a，b的取值范圍標(biāo)出，如圖所示

當(dāng)a，b滿足函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，坐標(biāo)位于正方形內(nèi)圓外的部分．
于是概率為1-

π3

4π2

=1-

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是概率與函數(shù)的綜合問(wèn)題，利用古典概型的特點(diǎn)分別求出基本事件的總數(shù)及所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問(wèn)題，何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．屬于中檔題．