Question

（本小題滿分14分）已知橢圓（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，動(dòng)點(diǎn)（）．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程；

（3）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，證明線段的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離、參數(shù)方程、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用橢圓的離心率和橢圓過(guò)的定點(diǎn)，列出方程組，解出a，b，c，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，通過(guò)已知條件先得到圓心和半徑，從而先設(shè)出圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，再構(gòu)造三角形解出t，即得到了圓的方程；第三問(wèn)，可以利用直線的參數(shù)方程，利用兩點(diǎn)間距離公式證明等于定值，也可以利用向量法證明.

試題解析：（1）由題意得 ①

因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以 ②

又 ③

由①②③解得，．

所以橢圓的方程為． 4分

（2）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為，半徑，

故圓的方程為． 5分

因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106011034872447/SYS201507110601159270165200_DA/SYS201507110601159270165200_DA.014.png">為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，

所以圓心到直線的距離． 7分

所以，即，

故，或，

解得，或．

又，故．

所求圓的方程為． 9分

（3）方法一：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足設(shè)為．

直線的方程為，直線的方程為．

由，解得，故． 11分

；

． 12分

又.

．

所以線段的長(zhǎng)為定值． 14分

方法二：設(shè)，則，，

，．

，． ． 11分

又，．

．

為定值． 14分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離、參數(shù)方程、向量垂直的充要條件.